C语言:rsa算法原理
发布时间：2010/6/12 11:34:58 来源：城市学习网 编辑：ziteng
C. 大数的运算
1. 大数的运算原理
RSA算法依赖于大数的运算，目前主流RSA算法都建立在512位到1024位的大数运算之上，所以我们首先需要掌握大数（比如1024位）的运算原理。
大多数的编译器只能支持到32位（或64位）的整数运算，即我们在运算中所使用的整数必须小于等于32位，即0xFFFFFFFF，这远远达不到RSA的需要，于是需要专门建立大数运算库，来解决这一问题。
最简单的办法是将大数当作字符串进行处理，也就是将大数用10进制字符数组进行表示，然后模拟人们手工进行“竖式计算”的过程编写其加减乘除函数。但是这样做效率很低。当然其优点是算法符合人们的日常习惯，易于理解。
另一种思路是将大数当作一个二进制流进行处理，使用各种移位和逻辑操作来进行加减乘除运算，但是这样做代码设计非常复杂，可读性很低，难以理解也难以调试。
这里我们采用了一种介于两者之间的思路：将大数看作一个N进制数组，对于目前的32位系统而言，N可以取2的32次方，即 0x100000000，假如将一个1024位的大数转化成0x10000000进制，它就变成了32位，而每一位的取值范围是0－ 0xFFFFFFFF。我们正好可以用一个无符号长整数来表示这一数值。所以1024位的大数就是一个有32个元素的unsigned long数组。而且0x100000000进制的数组排列与2进制流对于计算机来说，实际上是一回事，但是我们完全可以针对unsigned long数组进行“竖式计算”，而循环规模被降低到了32次之内，并且算法很容易理解。
但考虑到乘法和除法，都要进行扩展才能进行快速的计算（如果把除法变减法而不扩展，速度将慢的无法忍受）。所以我们将N取2的16次方的，即 0xFFFF。每一位用unsigned short来表示，当进行乘除运算时，将short扩展成long，这是编译器所支持的，所以运算起来，比较快。
2. 大数的各种运算
这些运算都是常见的，同时也是常用的。要实现RSA算法，就必须先实现大数的这些运算。
1) 大数的比较。两个无符号或有符号的大数进行大小比较。大数和一般整数进行比较。大于，等于，小于，返回值各异，以区别比较结果。
2) 大数的赋值。将一个大数的值，符号等，逐位赋给另一个大数。将一般整数的值，符号等赋给一个大数。
3) 大数的加法。两个大数从低位到高位逐位相加，要考虑到进位的问题。或大数与一般整数的相加。
4) 大数的减法。两个大数从低位到高位逐位相减，要考虑到借位的问题。或大数与一般整数的相减。
5) 大数的乘法。两个大数的乘法，从一个大数的低位到高位，逐位与另一个大数相乘，然后将结果低位对齐相加，要考虑进位，类似于普通的竖式乘法。或大数与一般整数的乘法。
6) 大数的除法。两个大数的除法，从一个大数的高位到低位，逐步与另一个大数相除，要考虑借位，类似于普通的竖式除法。或大数与一般整数的乘法。
7) 大数的取余。两个大数的取余，类似于大数的除法，只是当除到底时，返回的是余数而已，也存在借位的问题。或大数于一般整数的取余。
8) 大数的欧氏算法。它是已知大数A、B，求满足AX≡1 MOD B的X，是最大公约数算法的扩展，同样用辗转相除法。再递归的过程中，两个参数都要用到，到要变化的。具体算法请参考源代码。
9) 大数的蒙氏算法。它是已知大数A、B和C，求X=A^B MOD C的值。要对指数进行逐渐降阶，直到变成2次方，也就是转换成乘法和取余运算。降阶的方法和算法的具体过程，请参考相关书籍和源代码。
10) 大数的最大公约数。求两个大数的最大公约数，用辗转相除法。
RSA算法的实现
A. 生成密钥函数
gChar gGenerateKey(gBigInt *n,gBigInt *e,gBigInt *d);
功能：该函数实现了产生密钥的功能。先产生两个随机的大素数p和q，然后计算n＝p×q，随机产生（或固定）一个大数e，计算d，使得ed≡1 MOD (p-1)(q-1)。
参数：
n：两个大数的乘积，和e或d联合构成加密密钥或解密密钥。
e：一个大数，作为加密密钥。
d：一个和e互异的大数，作为解密密钥。
返回值：1－成功，0－失败。
B. 数据加密函数
char gEncRSA(unsigned char* indata, unsigned long inlen, gBigInt* e, gBigInt* n,\
unsigned char *outdata, unsigned long* outlen, int flg);
功能：把待加密的明文数据indata，用加密密钥e和n进行分段加密。
加密后的数据放到提前开辟好的内存outdata中，其长度outlen不得小于((inlen+k-12)/(k-11))*k，这里k为n的位数。
参数：
indata：指向明文数据的指针。
Inlen：传入数据的长度，即明文数据的长度。
e和n：两个大数，作为加密密钥。
Outdata：存放加密后密文数据的指针。
Outlen：传入outdata的长度，传出数据的长度，即密文数据的长度。
Flg：公钥加密或私钥加密的标志，g_PUBLIC－公钥，g_PRIVATE－私钥。
返回值：1－成功，0－失败。
C. 数据解密函数
char gDecRSA(unsigned char* indata, unsigned long inlen, gBigInt* d, gBigInt* n,\
unsigned char *outdata, unsigned long* outlen, int flg);
功能：把待解密的密文数据indata，用解密密钥e和n进行分段解密。
解密后的数据放到提前开辟好的内存outdata中，其长度outlen不得小于(inlen)*k/(k-11)，
这里k为n的位数。
参数：
indata：指向密文数据的指针。
Inlen：传入数据的长度，即密文数据的长度。
d和n：两个大数，作为加密密钥。
Outdata：存放解密后明文数据的指针。
Outlen：传入outdata的长度，传出数据的长度，即明文数据的长度。
Flg：公钥加密或私钥加密的标志，g_PUBLIC－公钥，g_PRIVATE－私钥。
返回值：1－成功，0－失败。
D. 用小素数检测 [NextPage] gChar gIsNotPrime(gBigInt *p);
功能：检测随机大数p能否被小素数整除。
参数：
p：待检测的随机大数。
返回值：0－可能是素数，其它－为能整除p的小素数或1。
E. Rabin-Miller检测
gChar gRabinMillerTest(gBigInt *p,int tNum);
功能：用Rabin-Miller算法，对大数p进行tNum次检测，判断p是否可能为素数。
参数：
p：待检测的随机大数。
tNum：检测的次数，它可以决定该检测的可信度。
返回值：0－失败或通不过，1－成功并通过，说明p可能是素数。
F. 随机产生大素数
gChar gGeneratePrime(gBigInt *p);
功能：随机生成一个大素数。
参数：
p：随机生成的大素数。
返回值：0－失败，1－成功。
G. 顺序搜索大素数
gChar gGeneratePrimeEx(gBigInt *p, int flg);
功能：根据标志flg，递增或递减地搜索p附近的大素数。
参数：
p：搜索到的大素数。
Flg：方向标志，g_INCREASE－递增，g_DECREASE－递减。
返回值：0－失败，1－成功。
H. 字符串与大数的转换
gChar gStr2BigInt(gBigInt *gbi,char *str,int flg);
功能：根据标志flg，将表示成10进制或16进制形式的字符串str转换成大数gbi。
参数：
gbi：转换成的大数。
Str：待转换的字符串。
Flg：标志，OCT_FLG－8进制，DEC_FLG－10进制，HEX_FLG－16进制。
返回值：0－失败，1－成功。
gChar gBigInt2Str(char *str,gBigInt *gbi,int flg);
功能：根据标志flg，将大数gbi转换成10进制或16进制形式表示的字符串str。
参数：
Str：转换成的字符串。
gbi：待转换的大数。
Flg：标志，OCT_FLG－8进制，DEC_FLG－10进制，HEX_FLG－16进制。
返回值：0－失败，1－成功。
I. 一般整数的乘除
gUInt gIntMul(gUInt *a, gUInt b);
功能：一般整数的乘法。在函数内部，对整数a和b进行扩展，然后与b相乘，把结果放在a中返回，进位作为返回值。
参数：
a：传入一个整数，传出相乘的结果。
b：传入一个整数，作乘数。
返回值：两个整数相乘的进位。失败时，返回0。
gUInt gIntDiv(gUInt *ah, gUInt *al, gUInt b);
功能：一般整数的除法。在函数内部，将整数ah和al合并成一个扩展了的整数，然后除以整数b，把结果的高位放到ah中，低位放到al中返回，余数作为返回值。
参数：
ah：传入一个整数，作为被除数的高位；传出相除后的结果的高位。
al：传入一个整数，作为被除数的低位；传出相除后的结果的低位。
b：传入一个整数，作除数。
返回值：相除的余数。失败时，返回0。
J. 大数的比较
gChar gCmp(gBigInt *a, gBigInt *b);
功能：对大数a和大数b进行比较，不考虑它们的符号，只比较数值。
参数：
a：传入一个大数。
b：传入另一个大数。
返回值：-1－大数a小于大数b，0－大数a等于大数b，+1－大数a大于大数b。
gChar gCmpEx(gBigInt *a, gBigInt *b);
功能：对大数a和大数b进行比较，考虑它们的符号，整数大于负数。
参数：
a：传入一个大数。
b：传入另一个大数。
返回值：-1－大数a小于大数b，0－大数a等于大数b，+1－大数a大于大数b。
gChar gCmpInt(gBigInt *a, gUInt b);
功能：大数与整数的比较。对大数a和一般整数b进行比较，不考虑它们的符号。
参数：
a：传入一个大数。
b：传入一个一般整数。
返回值：-1－大数a小于b，0－大数a等于b，+1－大数a大于b。
K. 大数的赋值
gChar gMov(gBigInt *a, gBigInt *b);
功能：将大数b的值，赋给大数a，考虑它们的符号。
参数：
a：传出赋值的结果。
b：传入另一个大数。
返回值：0－失败，１－成功。
gChar gMovInt(gBigInt *a, gUInt b);
功能：将整数b的值，赋给大数a，考虑它们的符号。
参数：
a：传出赋值的结果。
b：传入一个一般整数。
返回值：0－失败，１－成功。
L. 大数的加法
gChar gAdd(gBigInt *a, gBigInt *b);//加
功能：对大数a和大数b进行加法运算，考虑它们的符号。
参数：
a：传入一个大数，传出相加的结果。
b：传入另一个大数。
返回值：0－失败，１－成功。 [NextPage] gChar gAddInt(gBigInt *a, gSInt b);
功能：对大数a和整数b进行加法运算，考虑它们的符号。
参数：
a：传入一个大数，传出相加的结果。
b：传入一个一般整数。
返回值：0－失败，１－成功。
M. 大数的减法
gChar gSub(gBigInt *a, gBigInt *b);//减
功能：对大数a和大数b进行减法运算，考虑它们的符号。
参数：
a：传入一个大数，传出相减的结果。
b：传入另一个大数。
返回值：0－失败，１－成功。
gChar gSubInt(gBigInt *a, gSInt b);
功能：对大数a和整数b进行减法运算，考虑它们的符号。
参数：
a：传入一个大数，传出相减的结果。
b：传入一个一般整数。
返回值：0－失败，１－成功。
N. 大数的乘法
gChar gMul(gBigInt *a, gBigInt *b);//乘
功能：对大数a和大数b进行乘法运算，考虑它们的符号。
参数：
a：传入一个大数，传出相乘的结果。
b：传入另一个大数。
返回值：0－失败，１－成功。
gChar gMulInt(gBigInt *a, gSInt b);
功能：对大数a和整数b进行乘法运算，考虑它们的符号。
参数：
a：传入一个大数，传出相乘的结果。
b：传入一个一般整数。
返回值：0－失败，１－成功。
O. 大数的除法
gChar gDiv(gBigInt *a, gBigInt *b);//除
功能：对大数a和大数b进行除法运算，考虑它们的符号。
参数：
a：传入一个大数，传出相除的结果。
b：传入另一个大数。
返回值：0－失败，１－成功。
gChar gDivInt(gBigInt *a, gSInt b);
功能：对大数a和整数b进行除法运算，考虑它们的符号。
参数：
a：传入一个大数，传出相除的结果。
b：传入一个一般整数。
返回值：0－失败，１－成功。
P. 大数的取余
gChar gMod(gBigInt *a, gBigInt *b);//取余
功能：对大数a和大数b进行取余运算，考虑它们的符号。
参数：
a：传入一个大数，传出取余的结果。
b：传入另一个大数。
返回值：0－失败，１－成功。
gChar gModInt(gBigInt *a, gSInt b);
功能：对大数a和整数b进行取余运算，考虑它们的符号。
参数：
a：传入一个大数，传出取余的结果。
b：传入一个一般整数。
返回值：0－失败，１－成功。
Q. 欧几里德算法
gChar gEuc(gBigInt *a,gBigInt *b);//欧几里德算法
功能：对大数a和大数b执行欧几里德算法，结果放到a中。即用辗转相除的思想，求满足aX≡1 MOD b的X的值，也即求满足aX－bY＝1的较小的大数X和Y的值。
其中用到了递归的思想，运算后，大数a和大数b，都改变了。
参数：
a：传入一个大数，传出满足aX－bY＝1的X的值。
b：传入另一个大数，传出满足aX－bY＝1的Y的值
返回值：0－失败，１－成功。
R. 蒙格马利算法
gChar gMon(gBigInt *a, gBigInt *b, gBigInt *c);//蒙格马利算法
功能：对大数a，大数b和大数c执行蒙格马利算法，结果放到a中。
即用指数降阶的思想，求算式a^b MOD c的值。至于降阶的原理，请参考相关书籍。
参数：
a：传入一个大数，传出运算的结果。
b：传入另一个大数。
c：传入第三个大数。
返回值：0－失败，１－成功。
S. 最大公约数
gChar gGcd(gBigInt *a, gBigInt *b);//最大公约数
功能：用辗转相除法，求大数a和大数b的最大公约数。
参数：
a：传入一个大数，传出a和b的最大公约数
b：传入另一个大数。
返回值：0－失败，１－成功。
