1.6.1 二叉树概念及其基本性质

　　1. 二叉树及其基本概念

　　二叉树是一种很有用的非线性结构，具有以下两个特点：

　　① 非空二叉树只有一个根结点；

　　② 每一个结点最多有两棵子树，且分别称为该结点的左子树和右子树。

　　在二叉树中，每一个结点的度最大为2，即所有子树（左子树或右子树）也均为二叉树。另外，二叉树中的每个结点的子树被明显地分为左子树和右子树。

　　在二叉树中，一个结点可以只有左子树而没有右子树，也可以只有右子树而没有左子树。当一个结点既没有左子树也没有右子树时，该结点即为叶子结点。

　　例如，一个家族中的族谱关系如图1-1所示：

　　A有后代B，C；B有后代D，E；C有后代F。

　　典型的二叉树如图1-1所示：

　　详细讲解二叉树的基本概念，见表1-2。

图1-1 二叉树图

表1-2 二叉树的基本概念

　　2. 二叉树基本性质

　　二叉树具有以下几个性质：

　　性质1：在二叉树的第k层上，最多有2k-1（k≥1）个结点。

　　性质2：深度为m的二叉树最多有2m-1个结点。

　　性质3：在任意一棵二叉树中，度为0的结点（即叶子结点）总是比度为2的结点多一个。

　　性质4：具有n个结点的二叉树，其深度至少为[log2n]+1，其中[log2n]表示取log2n的整数部分。

　　3. 满二叉树与完全二叉树

　　满二叉树是指这样的一种二叉树：除最后一层外，每一层上的所有结点都有两个子结点。在满二叉树中，每一层上的结点数都达到最大值，即在满二叉树的第k层上有2k-1个结点，且深度为m的满二叉树有2m-1个结点。

　　完全二叉树是指这样的二叉树：除最后一层外，每一层上的结点数均达到最大值；在最后一层上只缺少右边的若干结点。

　　对于完全二叉树来说，叶子结点只可能在层次最大的两层上出现：对于任何一个结点，若其右分支下的子孙结点的最大层次为p，则其左分支下的子孙结点的最大层次或为p，或为p+1。

　　完全二叉树具有以下两个性质：

　　性质1：具有n个结点的完全二叉树的深度为[log2n]+1。

　　性质2：设完全二叉树共有n个结点。如果从根结点开始，按层次（每一层从左到右）用自然数1，2，……，n给结点进行编号，则对于编号为k（k=1，2，……，n）的结点有以下结论：

　　① 若k=1，则该结点为根结点，它没有父结点；若k>1，则该结点的父结点编号为INT（k/2）；

　　② 若2k≤n，则编号为k的结点的左子结点编号为2k；否则该结点无左子结点（显然也没有右子结点）；

　　③ 若2k+1≤n，则编号为k的结点的右子结点编号为2k+1；否则该结点无右子结点。

　　1.6.2 二叉树的遍历

　　在遍历二叉树的过程中，一般先遍历左子树，再遍历右子树。在先左后右的原则下，根据访问根结点的次序，二叉树的遍历分为三类：中序前序遍历、遍历和后序遍历。

　　（1）前序遍历

　　先访问根结点，然后遍历左子树，最后遍历右子树；并且在遍历左、右子树时，仍需先访问根结点，然后遍历左子树，最后遍历右子树。例如，对图1-1中的二叉树进行前序遍历的结果（或称为该二叉树的前序序列）为：A，B，D，E，C，F。

　　（2）中序遍历

　　先遍历左子树、然后访问根结点，最后遍历右子树；并且，在遍历左、右子树时，仍然先遍历左子树，然后访问根结点，最后遍历右子树。例如，对图1-1中的二叉树进行中序遍历的结果（或称为该二叉树的中序序列）为： D，B，E， A，C，F。

　　（3）后序遍历

　　先遍历左子树、然后遍历右子树，最后访问根结点；并且，在遍历左、右子树时，仍然先遍历左子树，然后遍历右子树，最后访问根结点。例如，对图1-1中的二叉树进行后序遍历的结果（或称为该二叉树的后序序列）为： D， E，B， F，C，A。